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INTERROGHIAMO LE ESPERIENZE

Alice nel paese della matematica

di Gloria Nobili

1. Introduzione

Spesso si pensa che la Matematica ed il suo apprendimento siano difficoltosi e riservati solo a quei pochi eletti che nascono con il "bernoccolo" della matematica, ma ciò non è vero! La Matematica può rivelarsi molto piacevole e addirittura appassionante se la si libera da modalità noiose e ripetitive d’insegnamento. Ciò che fa la differenza è il come più che altri fattori al contorno. Infatti, pur non perdendo di vista l’obiettivo da raggiungere, i ragazzi possono impararne le strategie risolutive e i contenuti anche in modo interessante e divertente e, soprattutto, in prima persona.
Per realizzare questa possibilità è sufficiente creare un ambiente d’apprendimento che sia in sintonia con le naturali curiosità dei bambini e che, contemporaneamente, li coinvolga sul piano emotivo o della fantasia. Quale ambiente migliore allora di quello delle favole? Ecco che le vicende di Alice nel Paese delle Meraviglie (Alice è stata creata, guarda caso, dalla fantasia del matematico inglese C. L. Dodgson ( ), che si firmava con lo pseudonimo Lewis Carroll) diventano il contenitore ideale per dispiegare i concetti e le curiosità inerenti le potenze del 2 e i sistemi di numerazione non decimali .
La favola diventa laboratorio di Matematica! Quale binomio straordinario!
In questo modo per i ragazzi il percorso didattico diventa una specie di affascinante iniziazione alle basi del calcolo binario in cui sono accompagnati, quasi per mano, da una ragazzina piacevole ed imprevedibile come Alice. E’ lei, essa stessa una bambina, che li guiderà in un viaggio, che possiede il "magico sapore dell’avventura", attraverso un argomento veramente meraviglioso e ricco di sorprese come quello dei sistemi di numerazione. La piccola esploratrice ha come suo cicerone in questo strano mondo il matematico e filosofo tedesco G. Leibniz ( ), che qui gioca il ruolo di guida paziente ed illuminata, qualcosa di simile ad un “papà” che si preoccupa di sviluppare le capacità cognitive e nel contempo di solleticare le curiosità dei suoi figli.
A grandi linee è questo l’ambiente in cui si muove chi decide di seguire la proposta contenuta nel laboratorio didattico "Alice nel paese della Matematica", che è stata elaborata sia per gli alunni dell’ultimo anno delle scuole elementari che per quelli che frequentano il primo anno della scuola media e sia per quanti (anche adulti) vogliano affrontare questo argomento in un modo un po’ originale ed accattivante.
La storia si snoda lungo una serie di cartelloni colorati, inframmezzati da giochi e da prove sperimentali dei contenuti presentati, che trasportano il curioso o lo studente, in un viaggio dall’antichità fino all’epoca dei computer. E’ un muoversi non solo nello spazio e nel tempo, ma anche all’interno dei nostri circuiti mentali che vengono attivati, di volta in volta, dal dialogo stringente tra Alice e Leibniz e dalle simulazioni proposte.

2. Percorso didattico.La scacchiera di Sissa Nassir.

La storia (che fa da sfondo al laboratorio) si apre con Alice che, sdraiata sull’erba ai piedi di un albero, sta leggendo un libro di favole…


E quindi scese giù il silenzio.
Sulle ali del pensiero
La bimba sogna che percorre
La terra del mistero…( )
"[3]


…in cui si narra la storia di Sissa Nassir, inventore degli scacchi, che per ricompensa alla sua invenzione chiede al suo sultano che gli siano dati tanti chicchi di grano quanti sono necessari per riempire le 64 caselle della scacchiera, raddoppiando di volta in volta, cioè partendo da 1 chicco nella prima casella, due nella seconda, quattro nella terza e così via.. Non ci credereste mai, ma il numero finale è davvero enorme! Ecco allora che nel cartellone, su cui è disegnata la riproduzione di una scacchiera, compaiono dei chicchi di grano sulle caselle. Volendo metterne tanti quanti ne sono indicati nella storia, ci si accorge che già soltanto per la ottava casella occorrono ben 128 chicchi! A questo punto occorre continuare i calcoli sulla carta, ma, dopo un po’, di nuovo ci si accorge della difficoltà di calcolo.

Così viene in aiuto un metodo di calcolo più rapido già utilizzato in documenti redatti in caratteri cuneiformi del 200 a.C. . Se si ha la costanza di proseguire fino alla fine, si ottiene che la somma totale vale ben 18 quintilioni, 446 quadrilioni, 744 trilioni, 73 miliardi, 709 milioni 551 mila e 615. Se si prova a scriverlo risulta essere un numero di ben 18 cifre! (difficilino da leggere, eh?!)

18.446.744.073.709.551.615

3. Percorso didattico: le potenze del 2 (il gioco del tappo)

A questo punto scatta nella mente di Alice l’abbinamento con le potenze e le loro proprietà ( e questo offre un buon spunto all’insegnante per introdurle o ripassarle, a seconda della classe che ha).
Per aiutare Alice nel suo viaggio tra i numeri, si presenta un signore tutto impettito, con una bella parrucca bianca, che si qualifica come Gottfried Leibniz e si offre di accompagnarla alla scoperta di altre curiosità del Meraviglioso Mondo della Matematica.
Seguendo lo scambio di domande e risposte tra Alice e Leibniz , ci si avvicina all’apprendimento della trasformazione di un numero decimale in forma binaria tramite un semplice gioco: il gioco del tappo. Come tutti i giochi, ha le sue regole e lo studente (sotto le mentite spoglie di Alice) viene invitato a provarlo.

Gioco del tappo

Sul tavolo sono disposti dei bicchieri (diciamo 6, tanto per fissare le idee) ciascuno dei quali contiene un foglietto su cui è segnata una delle potenze del 2 (fino a 25). I bicchieri sono disposti in fila e così anche le corrispondenti potenze del 2 sono via via crescenti ; infatti da 2°(= 1), posto nel bicchiere più a destra, si passa successivamente a 21 (= 2), poi a 22 (= 4) e così via fino ad esaurimento dei bicchieri.
Regole del gioco : viene consegnato un certo numero di tappi che devono essere sistemati nei bicchieri; bisogna fare in modo di mettere in ogni bicchiere solo il numero di tappi indicato dalle corrispondenti potenze del 2 ( non uno di più né di meno), fino al completo esaurimento dei tappi. Una volta effettuata la distribuzione, assegnerai ad ogni bicchiere pieno il simbolo 1 e ad ogni bicchiere vuoto il simbolo 0. Infine leggi la successione dei simboli partendo dal bicchiere pieno più a sinistra. Cosa avrai ottenuto?
La conversione del numero decimale (rappresentato dalla quantità iniziale dei tappi) in base 2 !

Ricorda:

Bicchiere pieno → 1 Bicchiere vuoto → 0

e soprattutto...PROVA…PROVA …PROVA!!!!!

Esempio:

20 Tappi devono essere distribuiti nei "contenitori" delle potenze del 2.
Si possono ripartire così : 16 nel bicchiere del 24 e i 4 rimanenti nel ...

2423222120

La successione dei bicchieri pieni (P)/vuoti (V) diventa:

P V P V V
1 0 1 0 0

Conclusione: la conversione binaria del numero decimale 20 è : 1 0 1 0 0
Facile, vero?!

La semplice corrispondenza tra bicchierino pieno e la cifra 1 e bicchierino vuoto e la cifra 0, permette di poter tradurre con facilità, piena consapevolezza e padronanza della situazione, le quantità espresse in forma decimale alla forma tipica delle sequenze di bit (= cifre binarie, cioè 0 e 1). Sono soprattutto la manipolazione e l'azione diretta di chi ha intrapreso il percorso che permettono che sia seguito e compreso anche da alunni che presentano alcune difficoltà di apprendimento. Il gioco, si sa, è la porta attraverso cui può passare l’input alla cultura e al desiderio di apprendere; se non c’è emozione, se non c’è una prova da superare e la conseguente scoperta di qualcosa di nuovo, l’acquisizione del sapere perde di mordente e diventa allora noiosa, a volte pesante, spesso senza piacere… un puro e semplice dovere o peggio ancora!


4. Percorso didattico: il Parco dei Sistemi di Numerazione.

Ma la storia non finisce qui.
Infatti, oltre al sistema di numerazione a base 2 (detto sistema binario), Alice decide di cimentarsi anche in altri sistemi di numerazione a base non decimale, cioè di avventurarsi attraverso il “Parco dei Sistemi Alternativi” sempre incoraggiata dalla guida del matematico Leibniz, che la segue come un maestro paziente, ma ben determinato ad incoraggiarla (e con essa gli alunni della classe)e che la esorta a non fermarsi davanti al primo ostacolo. Cosa che, del resto, tutti i maestri consapevoli delle difficoltà dei propri alunni mettono in pratica.


La giustificazione dell’introduzione di questi sistemi si ancora ad un brano che compare nel capitolo II del libro stesso “Alice nel Paese delle Meraviglie” e che non può essere compreso se non si conoscono le tabelline costruite utilizzando sistemi di numerazione con base superiore a 10.
La favola diventa così terreno fertile per dare la spinta all’apprendimento di questo argomento che, a volte, potrebbe sembrare complesso anche ad un adulto! Ma che i bambini, se opportunamente stimolati, possono vivere come un indovinello o un gioco enigmistico.

5. Percorso didattico: Bit e computer.

Superato l’ostacolo del “laghetto delle lacrime” e delle strane tabelline recitate da Alice, il percorso si snoda nel tempo per arrivare alle variabili binarie ideate dal matematico inglese G. Boole e note con il termine moderno di BIT . I bit ben si prestano allo studio ‘pratico’; infatti sono rappresentabili concretamente mediante dei semplici circuiti elettrici connessi in modo opportuno. I circuiti sono di semplice realizzazione, di basso costo e non sono per nulla pericolosi; occorre avere un po’ di pazienza per montare il tutto, ma si è poi ripagati dalle rielaborazioni che essi permettono di realizzare tramite il loro funzionamento.
Non resta altro che provare! Ma seguiamo il dialogo tra i due per capire meglio…
Leibniz : "Bene ! Devi sapere che il mio giochino matematico con i sistemi di numerazione ha avuto nel tempo delle applicazioni che non mi sarei mai aspettato ! Infatti dopo circa 150 anni, il matematico George Boole ha ripreso in considerazione il mio sistema binario e ha ideato le variabili binarie. Esse si chiamano così perché possono assumere solo due valori (che si possono schematizzare con le due cifre binarie 0 e 1) e nessun altro. Ti faccio qualche esempio per comprendere meglio quello che ti ho detto:
un rubinetto è una variabile binaria perché può avere solo due possibilità :

aperto ( ON →1) o chiuso ( OFF →0);
una lampadina può essere accesa ( ON → 1 ) o spenta (OFF → 0 ) ;
un interruttore può essere chiuso ( ON → 1 ) o aperto ( OFF → 0 ).
Pensa che cosa affascinante è trasformare in numeri in LUCE !"

0 → Lampadina spenta 1 → Lampadina accesa

Leibniz : "Sappi che con l’avvento dell’elettricità, ciò è stato possibile. L’importante è riuscire a disporre gli interruttori in due modi diversi :
in serie (cioè uno di seguito all'altro);
in parallelo (cioè uno in diramazione dell'altro)
e così i giochi e le combinazioni si sono fatti sempre più interessanti e sempre più complessi.


Tieni sempre presente che:
1 interruttore → 1 BIT → 2 possibilità: ON/OFF → 1/0
cioè ogni interruttore ha due possibili stati (Acceso/Spento o, se vogliamo usare l’inglese, ON/OFF); ogni interruttore rappresenta 1 bit, in quanto ogni bit ha, a sua volta, due soli valori possibili: 1/0
La situazione può essere schematizzata raccogliendo le diverse possibili situazioni in una tabella opportuna:


Circuito in serie
Circuito in parallelo
Interruttore A aperto Interruttore A aperto
Interruttore B
aperto lampadina spenta Interruttore B
aperto lampadina spenta
Interruttore A chiuso Interruttore A chiuso
Interruttore B aperto lampadina spenta Interruttore B
aperto lampadina accesa
Interruttore A aperto Interruttore A aperto
Interruttore B chiuso lampadina spenta Interruttore B
chiuso lampadina accesa
Interruttore A chiuso Interruttore A chiuso
Interruttore B chiuso lampadina accesa
Interruttore B
chiuso lampadina accesa

Riassumendo (mettiamo su carta quello che abbiamo osservato con le lampadine, per cui con A e B indichiamo gli interruttori , con 0 e 1 il loro stato, con A?B e A!B il diverso tipo di connessione e il risultato della situazione con lo stato della lampadina inserita nel circuito):


OPERAZIONE ? OPERAZIONE !
A B A?B A B A!B
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1


(Quali operazioni matematiche tra le cifre ti farebbero ottenere lo stesso risultato ? Pensateci bene!)
Alice :" E’ veramente un’idea "luminosa" ! E se mettessimo più di 2 interruttori, cosa succederebbe?"
Dunque, se non mi sbaglio, ricordando che 1 interruttore può essere rappresentato con 1 bit poiché può assumere solo due valori…


1 interruttore → 1 Bit
2 interruttori → 2 Bit
3 interruttori → 3 Bit

Quindi otterremmo dei circuiti sempre più complessi e potremmo ottenere delle combinazioni sempre più numerose ; infatti..."

1 BIT 2 BIT 3 BIT 4 BIT
0 00 000
1 01 001
10 010
11 100
011
101
110
111

Quante combinazioni ? Quante con 4 bit?
1 Bit --> 2 = 2¹
2 Bit --> 4 = 2²
3 Bit --> 8 = 2³
4 Bit --> ?

Leibniz : "Hai capito come si esegue il calcolo ? E’ sufficiente conoscere le potenze del…2 !"
Alice : "Hai ragione ! Ma guarda che combinazione : sono sempre le potenze del 2 che spuntano da ogni parte !"
Leibniz : "Sai com’è andata a finire ? Che a forza di 0 e 1, di circuiti accesi e spenti, di tasti ON/OFF dagli anni intorno al 1940 a tutt’oggi gli scienziati sono riusciti a costruire delle macchine stupende, supersoniche che fanno i calcoli a velocità strabilianti e che risolvono contemporaneamente più problemi e che hanno chiamato COMPUTER!"

Alice : "E’ una cosa veramente interessante ! Spero proprio che qualcuno me ne regali uno per il mio compleanno ( ma anche per il mio non-compleanno; è lo stesso!)."
Leibniz : "Penso che per oggi abbiamo visto abbastanza meraviglie di questo Paese della Matematica... è meglio che ti riaccompagni a casa !"
Alice : "Io mi sono divertita moltissimo e spero che anche chi ha seguito il nostro viaggio lo abbia trovato interessante... e magari divertente... E’ così ?”
(sì → 1 no → 0)
Arrivederci !!!!


6. Conclusioni
Con questo saluto “binario” si chiude il percorso di Alice nel Paese della Matematica, ma non quello delle idee che sono rimaste come “luci” divertenti e colorate nella mente dei ragazzi che lo hanno preparato e seguito.
Quello che è stato presentato qui è solo un’ipotesi di percorso e di collegamenti, ma ogni insegnante può aggiungere quello che ritiene più opportuno per risvegliare la comprensione e l’emozione dei propri alunni.
Questo percorso è stato sperimentato direttamente sia con alunni della scuola media che dell’ultimo anno della scuola elementare e i risultati sono stati entusiasmanti.
I materiali utilizzati sono stati molto semplici e di costo molto contenuto (carta, cartone, colori, cavo elettrico, lampadine di basso voltaggio, fermacarte al posto degli interruttori); i tempi di realizzazione (compresa la preparazione del materiale) dipendono anche dal numero degli alunni coinvolti, oltre che dai tempi didattici (ad esempio circa 6 ore a settimana per 4 o 5 settimane); più che altro occorrono fantasia e buona volontà. Non bisogna comunque trascurare i contributi personali degli alunni, spesso possono sorprendere per i suggerimenti tecnici o per la stessa conduzione delle esperienze (della serie:”E se invece…” ) e quindi creare percorsi molto adatti a soddisfare le loro curiosità e la loro logica.
Oserei dire che è stata proprio una bella …avventura per tutti (alunni e docenti)!



Gloria Nobili

Insegnante ideatore del laboratorio didattico "Alice nel paese della Matematica"

Per ogni chiarimento o precisazione sono contattabile via e-mail al seguente indirizzo: Indirizzo e-mail protetto dal bots spam , deve abilitare Javascript per vederlo

N.B. Il percorso completo è consultabile presso il sito:
http://www.criad.unibo.it/galarico/calcolo/alice/index.htm

[1] Charles Lutwige DODGSON (1832-1898), pastore protestante e docente di matematica ad Oxford. Incredibile inventore di giochi, indovinelli, rompicapo e calembours per divertire i bambini, pubblicò, oltre ad Alice nel Paese delle Meraviglie (Alice’s Adventures in Wonderland) comparso nel 1865, un altro racconto con Alice come protagonista (Attraverso lo Specchio) pubblicato nel 1871.
[2] Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646-1716) divide con Newton il merito dell’impostazione del calcolo infinitesimale. Razionalista, si propose la costruzione di una lingua universale avente come alfabeto i simboli designati le nozioni più semplici. Fu inoltre inventore del sistema binario e dei sistemi di numerazione non decimali.
[3] Tratto dalla poesia introduttiva che si legge all’inizio del testo di Alice nel paese delle Meraviglie.
[4] Infatti si osserva che: 1+2+4+8 = 15 = 16-1
Se si sostituiscono le corrispondenti potenze del 2 si ottiene:2° + 2¹ + 2² + 2³ = 24 - 1
per cui, iterando il procedimento, si ottiene:
2° + 2¹ + 2² ... + 263 = 264 - 1